WWW.WIKI.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание ресурсов
 

«“Классическая дифференциальная геометрия” Проф. О. И. Мохов кафедра высшей геометрии и топологии I. Криволинейные системы координат в области n-мерного евклидова пространства 1. Криволинейные ...»

Весенний семестр, 2012 г .

Программа курса

“Классическая дифференциальная геометрия”

Проф. О. И. Мохов

кафедра высшей геометрии и топологии

I. Криволинейные системы координат

в области n-мерного евклидова пространства

1. Криволинейные системы координат в области n-мерного евклидова пространства. Координатные линии и координатные поверхности. Репер векторов скорости координатных линий, его матрица Грама и ее свойства .

2. Понятие о римановых и псевдоримановых метриках, заданных в области евклидова пространства. Метрика, порождаемая криволинейными системами координат евклидова пространства. Метрика евклидова пространства в криволинейных координатах .

3. Деривационные формулы (уравнения) для репера векторов скорости координатных линий криволинейной системы координат n-мерного евклидова пространства. Символы Кристоффеля, их явное выражение через метрику и закон преобразования .

4. Условие совместности деривационных уравнений для репера векторов скорости координатных линий криволинейной системы координат n-мерного евклидова пространства. Тензор кривизны Римана. Плоские метрики .

5. Ортогональные криволинейные системы координат в n-мерном евклидовом пространстве и диагональность метрики. Коэффициенты Ламе. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат, вид метрики в них. Эллиптическая и эллипсоидальная системы координат .

II. Кривые в n-мерном евклидовом пространстве



1. Элементарная кривая (простая дуга) в n-мерном евклидовом пространстве, параметризация. Параметризованные кривые, эквивалентность. Регулярные кривые. Регулярность координатных линий криволинейных систем координат в nмерном евклидовом пространстве .

2. Различные способы задания регулярной кривой в n-мерном евклидовом пространстве, их локальная эквивалентность .

3. Касательная прямая к регулярной кривой в n-мерном евклидовом пространстве, ее свойства .

4. Длина кривой в n-мерном евклидовом пространстве. Натуральная параметризация, ее свойства .

5. Соприкосновение кривых в n-мерном евклидовом пространстве .

6. Кривизна кривой в n-мерном евклидовом пространстве, ее геометрический смысл и свойства. Вектор кривизны кривой .

7. Точки спрямления кривой. Бирегулярные кривые в n-мерном евклидовом пространстве. Вектор главной нормали и соприкасающаяся плоскость бирегулярной кривой в n-мерном евклидовом пространстве .

8. Радиус кривизны кривой в n-мерном евклидовом пространстве, соприкасающаяся окружность, ее свойства .

9. Формулы для вектора кривизны и кривизны кривой в n-мерном евклидовом пространстве для произвольной регулярной параметризации .

10. Плоские кривые. Коориентация кривой и кривизна со знаком. Формулы Френе плоской кривой .

11. Поле реперов Френе вдоль кривой и кривая в группе ортогональных преобразований, кососимметричность ее вектора скорости в единице группы .

12. Натуральные уравнения плоской кривой и теорема о восстановлении плоской кривой по кривизне. Явные формулы восстановления плоской кривой по кривизне .

13. Интеграл кривизны по замкнутому плоскому контуру (глобальный смысл кривизны) .

14. Эволюта и эвольвента плоской кривой, их свойства .

15. Пространственные кривые (кривые в трехмерном евклидовом пространстве) .

Бинормаль бирегулярной кривой. Репер Френе вдоль кривой. Формулы Френе .





Кривизна и кручение пространственной кривой, их свойства и геометрический смысл. Критерий того, что бирегулярная пространственная кривая является плоской .

16. Вектор Дарбу пространственной кривой, его геометрический смысл .

17. Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости пространственной кривой. Локальный вид кривой в проекциях на соприкасающуюся, нормальную и спрямляющую плоскости .

18. Формулы для кручения пространственной кривой в натуральной и произвольной параметризациях .

19. Натуральные уравнения пространственной кривой и теорема о восстановлении пространственной кривой по кривизне и кручению .

20. Формулы Френе для кривой в n-мерном евклидовом пространстве .

III. k-мерные подмногообразия (k-мерные поверхности) в n-мерном евклидовом пространстве

1. Элементарное k-мерное подмногообразие (элементарная k-мерная поверхность) в n-мерном евклидовом пространстве. Параметризация. Регулярная параметризация. Регулярные k-мерные поверхности .

2. Координаты на k-мерной поверхности. Координатные линии на k-мерной поверхности, их векторы скорости, регулярность координатных линий на регулярных k-мерных поверхностях. Касательное пространство в точке k-мерной поверхности и его свойства, базис в касательном пространстве, его матрица Грама и ее свойства .

3. Различные способы задания регулярных k-мерных поверхностей, их локальная эквивалентность .

4. Нормальное пространство в точке k-мерной поверхности, его свойства, ортонормированный базис в нормальном пространстве .

5. Первая квадратичная форма k-мерной поверхности как пример римановой метрики, свойства и закон преобразования, квадратичная форма в касательных пространствах k-мерной поверхности .

6. Элемент объема k-мерной поверхности .

7. Базис n-мерного евклидова пространства в каждой точке k-мерной поверхности, его матрица Грама. Разложения Гаусса и Вайнгартена. Вторые квадратичные формы и коэффициенты кручения k-мерной поверхности, их свойства и законы преобразования. Гиперповерхности .

8. Деривационные формулы (уравнения) для k-мерной поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Символы Кристоффеля, их явное выражение через метрику и закон преобразования. Операторы Вайнгартена, их выражение через первую и вторые квадратичные формы k-мерной поверхности, закон преобразования .

9. Условия совместности деривационных уравнений и фундаментальные уравнения теории подмногообразий в n-мерном евклидовом пространстве. Уравнения Гаусса для k-мерного подмногообразия в n-мерном евклидовом пространстве и тензор кривизны Римана .

10. Формулировка теоремы Бонне для k-мерных подмногообразий в n-мерном евклидовом пространстве. Подмногообразия без кручения. Гиперповерхности .

–  –  –

1. Двумерные поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Способы задания .

2. Разложения Гаусса и Вайнгартена для двумерных поверхностей. Первая и вторая квадратичные формы. Символы Кристоффеля. Оператор Вайнгартена .

Деривационные уравнения .

3. Условия совместности деривационных уравнений и фундаментальные уравнения теории поверхностей. Уравнения Гаусса и тензор кривизны Римана .

4. Уравнения Петерсона-Майнарди-Кодацци для двумерных поверхностей. Тензор Кодацци и его симметричность .

5. Совместные системы дифференциальных уравнений и теорема об условии совместности системы дифференциальных уравнений специального типа .

6. Линейные системы дифференциальных уравнений специального вида и отвечающие им условия совместности (“уравнения нулевой кривизны”) .

7. Теорема Бонне для двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве .

8. Кривые на поверхности. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Геометрический смысл второй квадратичной формы .

9. Условие регулярности кривой пересечения двух регулярных поверхностей .

Нормальная составляющая вектора ускорения. Нормальные сечения поверхности. Кривизна нормального сечения .

10. Кривизна кривой на поверхности. Асимптотические направления. Теорема Менье. Примеры .

11. Главные кривизны и главные направления. Собственные значения пары фундаментальных квадратичных форм поверхности .

12. Теорема Эйлера. Экстремальные свойства главных кривизн .

13. Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности .

14. Оператор Вайнгартена, его собственные значения и собственные направления .

Формулы Родрига .

15. Соприкасающийся параболоид поверхности .

16. Различные типы точек на поверхности, их свойства. Индикатриса Дюпена .

17. Сопряженные направления в касательной плоскости. Сопряженная координатная сеть. Ортогональная сопряженная координатная сеть. Линии кривизны .

18. Сферическое отображение (отображение Гаусса) и его свойства .

19. Третья квадратичная форма поверхности, ее геометрический смысл. Связь с первой и второй квадратичными формами. Первая квадратичная форма образа при сферическом отображении поверхности ненулевой гауссовой кривизны (K = 0) .

V. Внутренняя геометрия двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве

1. Теорема Гаусса (Egregium) .

2. Изометрия, локальная изометрия. Инварианты локальной изометрии. Изгибание поверхностей. Внутренняя геометрия поверхности .

3. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности. Формулы для геодезической кривизны кривой .

4. Геодезические линии на поверхности. Уравнения геодезических линий, их свойства. Теорема о существовании и единственности геодезической линии в данном направлении на поверхности .

5. Поверхности вращения. Теорема Клеро .

6. Ковариантная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности .

Параллельный перенос векторов вдоль кривой на поверхности. Ковариантное дифференцирование на поверхности .

7. Полугеодезические координаты и их свойства. Теорема о существовании полугеодезических координат .

8. Геодезические как локально кратчайшие кривые на поверхности .

9. Классификация поверхностей постоянной гауссовой кривизны с точностью до локальной изометрии .

10. Псевдоевклидовы пространства. Псевдосферические координаты внутри изотропного конуса. Псевдосфера. Метрика псевдосферы и геометрия Лобачевского .

11. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости: риманова метрика, гауссова кривизна, геодезические .

12. Параллельный перенос вектора вдоль замкнутого контура на поверхности.

Похожие работы:

«Ученые записки Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского.   География. Геология. Том 3 (69). №1. 2017 г. С. 191–203.  УДК 551.243+556.3.06  АКТИВИЗАЦИЯ КАРСТОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРЕДЕЛАХ РАЗРЫВНЫХ СТРУКТУР ПРИРОДНЫХ И УРБАНИЗИРОВАННЫХ ТЕРРИТОРИЙ ГОРНОГО И ПРЕДГОРНОГО КРЫМА  Пасынков А. А., Вахрушев Б. А.  Тавриче...»

«ПО ТУ СТОРОНУ АНТАГОНИЗМА: ГИБРИД КАК МОДЕЛЬ ПОСТКОЛОНИАЛЬНОЙ КВИР-СУБЪЕКТНОСТИ Дмитрий Александрович Дорогов* Центрально-Европейский университет, Будапешт, Венгрия Цитирование: Дорогов Д.А. (2017) По ту сторону антагонизма: гибрид к...»

«УДК 82-312.9 ББК 84(2Рос-Рус)6-4 П 16 Оформление серии художника Светланы Прохоровой Серия основана в 2005 году Иллюстрация на переплете художника Игоря Варавина Панов В . Ю. П 16 Дикие персы / Вадим Панов. — М. : Эксмо, 2014. — 480 с. — (Тайный Город). ISBN 978-5-699-71113-0 Таинственные исчезновения, странные см...»

«136 Отчет о музыкальных представлениях в память о Генделе Чарльз Бёрни ОТЧЕТ  О  МУЗЫКАЛЬНЫХ  ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ  В  ПАМЯТЬ  О  ГЕНДЕЛЕ  В  ВЕСТМИНСТЕРСКОМ  АББАТСТВЕ  И  ПАНТЕОНЕ  26,  27,  29  МАЯ,  3  И  5  ИЮНЯ  1784  ГОДА,  СОСТАВЛЕННЫЙ  ЧАРЛЬЗОМ  БЁР...»

«2010 ПРОБЛЕМЫ АРКТИКИ И АНТАРКТИКИ № 2 (85) УДК 551.326.6 Поступила 13 мая 2010 г. ЛЕДОВЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАЛИВЕ ГРЕН-ФЬОРД (АРХИПЕЛАГ ШПИЦБЕРГЕН) ЗА ПЕРИОД 1974–2008 гг. канд. геогр. наук Б.В.ИВАНОВ, инженер Д.М.ЖУРАВСКИЙ ГНЦ РФ Арктический и антарктический научно-исследовательский институт, СанктПете...»

«/ И. М уп т т ск т. сХурскъ и куряне чг\ -с®сИзъ исторш о Яурск’Ь. Осада: Курска Жолкевскимъ. Начало курскагЪ Знаменскаго монастыря,—Взрывъ въ 1898 г . 8-гб марта.— Клевета или невКдеше Леонида Андреева.—Изъ прош­ лаго Курска.П. Н. Демидовъ,— Астрономъ СамоУ учк...»

«Основные системы закаливания. 17.12.2015. Под закаливанием понимают систему гигиенических мероприятий, направленных на повышение устойчивости организма к неблагоприятным воздействиям различных метеорологических факторов (холода, тепла, солнечной радиации, пониженного атмосферн...»








 
2018 www.wiki.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание ресурсов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.